Index-Modell

1. Problemstellung: Das Index-Modell wurde 1963 von Sharpe entwickelt, um die praktische Anwendbarkeit der Portfolio-Theorie nach Markowitz zu verbessern. Konkret steht die Absicht im Vordergrund, den für die Ermittlung der Effizienzkurve erforderlichen Dateninput zu verringern. So müssen bei der Depotzusammenstellung nach Markowitz die erwarteten Periodenrenditen, die Varianzen der Periodenrenditen sowie die Kovarianzen bzw. Korrelationskoeffizienten zwischen den einzelnen Kapitalanlagen, z.B. Aktien, ermittelt werden. Bei einer Analyse von nur 100 Aktien müssen allein 4.950 Kovarianzen (100 × 99/2) einzeln geschätzt werden. Der erhebliche verfahrenstechnische Aufwand, der hiermit verbunden ist, schränkt die praktische Anwendbarkeit stark ein, und dies durchaus unabhängig von den seitdem immens gestiegenen Computerkapazitäten.

2. Grundgedanke und Einordnung: Ausgangspunkt der Überlegungen war die empirische Beobachtung, dass die Renditen von Kapitalanlagen, etwa Aktien, tendenziell eher positiv als negativ miteinander korreliert sind. Dies wiederum deutet nach Sharpe auf gemeinsame, alle Aktien betreffende fundamentale Einflüsse hin, die die Renditen der verschiedenen Aktien tendenziell in die gleiche Richtung bewegen; neben diese Renditekomponente tritt dann der Renditeanteil, der allein auf unternehmensindividuellen Einflüssen beruht. Wenn nun diese gemeinsamen Einflussfaktoren in einer einzigen quantifizierbaren Größe sichtbar werden, müssten die Korrelationen der verschiedenen Aktien ggf. nicht mehr direkt, sondern könnten indirekt über die gemeinsame Abhängigkeit von dieser Größe erfasst werden. Obwohl diese Größe – etwas missverständlich – generell als "Index" bezeichnet wird, kann es sich durchaus um eine makroökonomische Größe o.Ä. handeln; allerdings hat es sich weithin durchgesetzt, die Wirkung der gemeinsamen Einflussfaktoren in der Entwicklung eines sog. Marktindex, insbesondere eines Aktienindex, abzubilden. Der Unterschied zwischen dem Markt-Modell und dem Index-Modell besteht somit darin, dass im Markt-Modell die Entwicklung des Marktes als wesentlicher Faktor explizit vorgegeben ist (was auf die Bedeutung des Marktportefeuilles im Capital Asset Pricing Model zurückgeht; dieses muss nun für die praktische Anwendung durch einen Marktindex abgebildet werden) während sich im Index-Modell ein derartiger Marktindex schlicht empirisch als sinnvolle Größe erweist, um die Wirkung der für alle Aktien(-renditen) gemeinsamen Einflussfaktoren einzufangen. Im Ergebnis stimmen aber Markt-Modell und Index-Modell im Wesentlichen überein, so dass für die Darstellung auf die Ausführungen zum Markt-Modell verwiesen wird.

3. Modellergebnis und Weiterentwicklung: Im vorliegenden Zusammenhang interessiert von den Ergebnissen in erster Linie die enorme Verringerung des Datenbedarfs gegenüber dem Markowitz-Modell: So sind z.B. bei 100 betrachteten Aktien statt zuvor 5.150 Parameterschätzungen lediglich 302 Parameterschätzungen notwendig, zum größten Teil deshalb, weil nun die Kovarianzen der Renditen (σ_ij) auf der Basis der Beta-Faktoren (β_i, β_j) und der Varianz der Index-Rendite (σ_I) geschätzt werden können: σ_ij = β_i·β_j·σ_I – ein nach wie vor in der Praxis weit verbreitetetes Verfahren. Dass dies überhaupt möglich ist, beruht auf der sog. Diagonaleigenschaft des Modells (Diagonal-Modell). In dieser kommt zum Ausdruck, dass im Index-Modell (und ebenso im Markt-Modell) sämtliche Abhängigkeiten zwischen den Aktienrenditen ausschließlich über den Index erfasst werden und ansonsten ausgeschlossen sind (Interkorrelation von null, d.h. Unkorreliertheit der (empirischen) Zufallsfehler, hier Residualrenditen). Dadurch können Einflussfaktoren, die eine bestimmte Branche oder – bei einem internationalen Marktindex – ein bestimmtes Land insgesamt betreffen, in diesem Ein-Index-Modell nicht berücksichtigt werden; mit anderen Worten liefert das Index-Modell dann nur approximative Lösungen zum Markowitz-Modell. Um dem abzuhelfen, wurden unterschiedliche Mehr- (oder Multi-)Index-Modelle entwickelt, in denen die Korrelationen bspw. der Branchenindizes untereinander entweder direkt (Kovarianzenform) oder – analog zum Ein-Index-Modell – indirekt über die gemeinsame Abhängigkeit von einem Oberindex (Diagonalform, mit Indexhierarchie) erfasst werden. Mittlerweile sind die Multi-Index-Modelle größtenteils in den Mehrfaktorenmodellen aufgegangen.

Vgl. auch Portfolio-Theorie, portfolioorientierte Aktienanalyse, Asset Allocation.