Black-Modell

1. Begriff: Variante des Black-Scholes-Modells, das 1976 von Fischer Black für Optionen auf Futures entwickelt wurde. Das Black-Modell wird fälschlicherweise oft modifiziertes Black-Scholes-Modell bezeichnet.

2. Bedeutung: Das Black-Modell kann sowohl für Optionen auf Futures mit Future-Style-Verfahren als auch für Optionen mit Stock-Style-Verfahren angewendet werden. Bei Optionen mit Future-Style-Verfahren wird der risikolose Zinssatz auf null gesetzt (modifiziertes Black-Modell). Darüber hinaus eignet sich das Black-Modell auch für das Pricing von OTC-Optionen auf langlaufende Straight Bonds (z.B. Bundesanleihen).

3. Berechnung:
a) Fair Value eines europäischen Calls mit Stock-Style-Verfahren bzw. einer europäischen OTC-Call-Option (Zinsoption) mit stetiger Verzinsung:

wobei:
C = Kurs der Call Option (Optionsprämie)
F = Kurs des Basiswertes (z.B. Euro-Bund-Future)
X = Basispreis
exp = Exponentialfunktion
r = auf der Basis stetiger Verzinsung berechneter annualisierter Zins
σ = Volatilität
t = Restlaufzeit der Option
ln = Logarithmus naturalis

N(d) = Funktionswert der kumulativen Normalverteilung an der Stelle d, wobei gilt:

b) Fair Value eines europäischen Puts mit Stock-Style-Verfahren bzw. einer europäischen OTC-Put Option (Zinsoption):

wobei P = Kurs der Put Option und alle weiteren Symbole wie oben unter a). Bei OTC-Optionen auf Anleihen ist anstelle des aktuellen Futurekurses der Terminkurs der Anleihe in die Formel einzusetzen.

c) Fair Value eines europäischen Calls mit Future-Style-Verfahren; dieser kann mit folgender modifizierter Black-Formel ermittelt werden (im Vergleich zu obiger Formel wurde nur r auf null gesetzt, damit wird der Wert exp(-rt) = 1):

d) Fair Value einer Put Option mit Future-Style-Verfahren:

Vgl. auch Cox-Ross-Rubinstein-Modell.