Kovarianz

1. Begriff und Einordnung: statistische Maßgröße zur Quantifizierung der Korrelation zweier Zufallsvariablen bzw. quantitativer Merkmale (Zusammenhangs-/Korrelationsmaß). Hiermit können ausschließlich monotone, im Idealfall lineare Zusammenhänge erfasst werden. In der modernen Portfolio-Theorie wird damit die Art des Zusammenhangs, nämlich eine gleichläufige (positive Korrelation) oder aber gegenläufige (negative Korrelation) Entwicklung der Rendite zweier Anlagen/Wertpapiere beschrieben.

2. Berechnung: durchschnittliches Produkt aller Abweichungen zweier Zufallsvariablen von ihrem jeweiligen Erwartungswert (theoretische Kovarianz σ₁₂) bzw. der beobachteten Wertepaare zweier Merkmale in einer Stichprobe von ihrem jeweiligen Mittelwert (empirische Kovarianz). Sind (x_i, y_i) mit i = 1, ... , n die n beobachteten Wertepaare zweier Merkmale, so ergibt sich speziell deren (erwartungstreue) Stichprobenkovarianz s₁₂ aus der Schätzfunktion

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wobei  und  die beiden arithmetischen Mittel sind. Vgl. zum Divisor (n–1) die Ausführungen zur Varianz. Die Varianz selbst stellt sich vor diesem Hintergrund als spezielle Kovarianz mit x = y dar, d.h. die Varianz ist die Kovarianz einer Zufallsvariablen mit sich selbst, während umgekehrt die Kovarianz als Verallgemeinerung der Varianz verstanden werden kann.

3. Interpretation: Eine hohe positive Kovarianz zeigt an, dass die Variable y tendenziell dann eine hohe Ausprägung annimmt, wenn dies auch für die Variable x zutrifft und umgekehrt. Bei der Kovarianz handelt es sich allerdings um ein nichtnormiertes Zusammenhangsmaß – der Wertebereich ist nach oben und unten unbegrenzt –, so dass über die Stärke des Zusammenhangs keine Aussage getroffen werden kann; hierfür bedarf es einer Normierung, wie sie insbesondere bei der Berechnung des Korrelationskoeffizienten durch Standardisierung vorgenommen wird. Weiterhin gilt: Gibt es keinen Zusammenhang zwischen zwei Zufallsvariablen, sind diese also stochastisch unabhängig voneinander, beträgt die Kovarianz Null; der Umkehrschluss ist allerdings nicht zulässig, weil Abhängigkeiten bestehen können, die die Kovarianz rechnerisch nicht erfassen kann.