Roy-Kriterium

1. Begriff und Grundkonzeption: Methode zur Auswahl eines optimalen Portefeuilles (Portfolio Selection), die wie das Markowitz-Kriterium auf dem Mean-Variance-Approach aufbaut, ihn aber um die Konzeption des Shortfall-Risiko als alternative, auf das Downside Risk fokussierte Risikokennzahl ergänzt (nicht ersetzt). Nach Roy sollte aus der Vielzahl der gemäß Erwartungswert und Varianz effizienten Portefeuilles dasjenige Portefeuille ausgewählt werden, welches bei einer vorgegebenen Mindestrendite (Shortfall Threshold Level) das geringste Shortfall-Risko aufweist, diese zu verfehlen. Da hiermit i.d.R. eine sehr risikoarme Portfoliostruktur impliziert ist, wird das Roy-Kriterium auch als Safety-First-Kriterium (i.e.S.) bezeichnet. Vergleichbare Ansätze, die um eine Zusammenführung des Mean-Variance-Approach mit dem Gedanken des Shortfall-Risikos bemüht sind, aber etwas weniger risikoarme Portfoliostrukturen ergeben, sind von Telser und Kataoka entwickelt worden und als Telser- bzw. Kataoka-Kriterium (Safety-First-Krierien i.w.S.) bekannt.

2. Safety-first Ratio als Steigung der Downside-Geraden: Rechnerisch läuft das Roy-Kriterium darauf hinaus, aus allen nach dem Mean-Variance-Approach effizienten Portefeuilles dasjenige auszuwählen, welches die höchste Safety-first Ratio aufweist:

Safety-first Ratio = (E(R_P) – R_min) / σ_P

wobei:
E(R_P) = Erwartungswert der Portefeuille-Rendite
R_min = Mindestrendite (Shortfall Threshold Level)
σ_P = Volatilität der Portefeuille-Rendite im Sinne der erwarteten Standardabweichung.

Mit anderen Worten befindet sich das optimale Portefeuille im Tangentialpunkt von Effizienzkurve und der sog. Downside-Geraden (ausgehend von der Mindestrendite), weil dort die Steigung der Downside-Geraden und damit die Safety-first Ratio den höchsten Wert annehmen; dort lässt sich die höchste Risikoprämie je einer solchen Renditeeinheit erzielen, die über die Mindestrendite (die gar nicht zur Disposition gestellt wird) hinausgeht. Ersichtlich wird auch, dass die Mindestrendite nur unterhalb der Rendite des Minimumvarianzportefeuilles (vgl. die Abb. zur Effizienzkurve) angesetzt werden darf; sonst sind die Ansprüche des Anlegers an die Chance-Risiko-Möglichkeiten des Kapitalmarktes zu hoch. Dabei stellt sich das Minimumvarianzportefeuille selbst als Spezialfall für ein Shortfall-Risiko von Null dar.

3. Verbindung zum Capital Asset Pricing Model (CAPM) und zum Sharpe-Maß: Die Ähnlichkeiten sowohl zur Gleichung der Kapitalmarktlinie (Capital Asset Pricing Model, Ziff. 2) als auch zum Sharpe-Maß als Performance-Kennzahl sind augenfällig. In der Tat sind die Gleichungen formal identisch, wenn als vorgegebene Mindestrendite der risikolose Zinssatz angesetzt wird. Der zentrale Unterschied besteht darin, dass die Kapitalmarktlinie die Existenz einer neuen, linearen Effizienzkurve unter den Modellannahmen des CAPM behauptet, während das Roy-Kriterium ein optimales Portefeuille auf der ursprünglichen, gekrümmten Effizienzkurve identifiziert. Vor allem in der angelsächsischen Literatur wird nicht selten dem Anleger die alleinige Maximierung der Safety-first Ratio als Auswahlkriterium nahegelegt; dies verkennt ganz und gar den Charakter eines Optimierungskalküls und läuft inhaltlich auf die Portfolioauswahl nach dem höchsten Sharpe-Maß hinaus: Das Sharpe-Maß erscheint als Spezialfall der Safety-first Ratio, wenn als Mindestrendite der risikolose Zinssatz angesetzt wird. Dies ist aber nur in der Ex-post-Betrachtung einer Performance-Messung sachgerecht, wenn die Portfolioauswahl bereits in der Vergangenheit liegt und "nur" auf ihre Qualität hin beurteilt werden soll.

4. Würdigung: Erstens muss für alle Safety-First-Kriterien i.w.S. eine gewisse "Schizophrenie" diagnostiziert werden: Es wird nach einem Kriterium optimiert, welches auf eine nach einem anderen Kriterium getroffene Vorauswahl angewandt wird; daher spricht nichts dafür, dass sich unter den μ-σ-effizienten (Portfolio Selection) Portefeuilles das eigentlich gewünschte Portefeuille befindet. Wenn man statt dessen eine neue Effizienzkurve nach den Kriterien "Rendite" und "Shortfall-Risiko" konstruieren würde, bedarf es bereits hierfür zweitens wieder der Annahme gemeinsam normalverteilter Renditen; sollte dies zutreffen, sind allerdings die Lösungen nach Roy und Markowitz identisch: Der Blick auf das Shortfall-Risiko betont lediglich einen anderen Risikoaspekt derselben Menge von Portfeuilles; das kann in der Tat anschaulicher sein, im Kern liefert es aber keine neuen Informationen. Immerhin erhellt diese andere Perspektive, dass das Markowitz-Kriterium auch als Spezialfall des Roy-Kriteriums aufgefasst werden kann, weil die Orientierung an der Standardabweichung ein Shortfall-Risiko von 15,85 Prozent impliziert. Das ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich eine normalverteilte Rendite unterhalb der 1-Sigma-Umgebung befindet. Inhaltlich bedeutet das, dass nur ein Anleger, der mit einem beträchtlichen Shortfall-Risiko von zufällig genau 15,85 Prozent "leben kann", die Portfolio-Theorie in ihrer traditionellen Form anwenden und die analytischen und rechentechnischen Vorteile des μ-σ-Prinzips genießen kann. Wird allerdings – aus Sicht der Praxis – von der strengen Normalverteilungsannahme abgesehen, ergeben sich nach Markowitz und Roy jeweils unterschiedliche Effizienzkurven; genau an dieser Stelle findet dann der Übergang zum Mean-LPM-Approach als umfassendere statt provisorische Orientierung an downside gerichteten Risikomaßen statt.
Drittens schließlich kann dann, wenn eine risikolose Anlage berücksichtigt wird, im Unterschied zum Markowitz-Kriterium kein Two-Fund-Theorem und damit auch keine Tobin-Separation abgeleitet werden; daher ist auch das übliche Vorgehen in der Praxis, auf der "Kapitalmarktlinie" dasjenige (renditemaximale) Kombinationsportefeuille auszuwählen, dass das Safety-first-Kriterium gerade erfüllt, nicht zielführend: Bei einem Shortfall-Threshold-Level bis zum risikolosen Zinssatz ist die risikolose Anlage safety-first i.S. von Ziff. 2. Jenseits davon wären jeweils unterschiedliche Portefeuilles auszuwählen, die alle risikoreicher sind als nach Markowitz. So läuft dies bei einem sehr hohen, aber gerade noch umsetzbaren Anspuchsniveau auf die Anlage ausschließlich im riskantesten Wertpapier (!) hinaus, weil dann wenigstens noch eine kleine Chance besteht, den Shortfall-Threshold-Level zu erreichen; speziell die risikolose Anlage würde den Shortfall-Threshold-Level mit einer Wahrscheinlichkeit von Eins verfehlen. Ohne die Normalverteilungsannahme ergeben sich sogar je Shortfall-Threshold-Level u.U. mehrere Safety-first-Portefeuilles, so dass es für die Optimierung letztendlich eines weiteren Kriteriums bedarf, z.B. die maximale Renditeerwartung oder die minimale Standardabweichung aller Portefeuilles, die dem Safety-first-Kriterium genügen.